# Zadanie 15.1, matura rozszerzona czerwiec 2022

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2022](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/czerwiec)
- Dział: Dowody geometryczne
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/czerwiec/zadanie-15-1

## Treść

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne $ABC$ ($|AC|=|BC|$), na których opisano okrąg o promieniu $R=1$. Niech $x$ oznacza odległość środka okręgu od podstawy $AB$ trójkąta.

Wykaż, że pole $P$ każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości $x$, wyraża się wzorem $P(x) = (x+1)\cdot\sqrt{1-x^2}$.

## Odpowiedź

$P(x) = (x+1)\cdot\sqrt{1-x^2}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wprowadzamy oznaczenia:
<ul><li>$S$ - środek okręgu</li><li>$D$ - spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka $C$</li><li>$a=|AB|$ - długość podstawy</li><li>$h=|CD|$ - wysokość trójkąta</li></ul>Trójkąt jest równoramienny, więc $S$ leży na wysokości $CD$, a $D$ jest środkiem $AB$. Trójkąt jest ostrokątny, więc $S$ leży między $C$ i $D$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/czerwiec/zadanie-15-1)*

   $$h = |CS|+|SD| = 1+x$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium