# Zadanie 14, matura rozszerzona czerwiec 2022

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2022](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/czerwiec)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: otwarte, 6 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/czerwiec/zadanie-14

## Treść

Dane są okrąg $o_1$ o równaniu $(x-6)^2+(y-4)^2=98$ oraz okrąg $o_2$ o promieniu $2\sqrt{5}$. Środki okręgów $o_1$ i $o_2$ leżą po różnych stronach prostej $k$ o równaniu $y=-3x-6$, a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej $k$. Wyznacz równanie okręgu $o_2$.

## Odpowiedź

$(x+3)^2+(y-1)^2=20$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Punkty wspólne okręgów leżą na prostej $k$ i na okręgu $o_1$, więc wstawiamy $y=-3x-6$ do równania okręgu $o_1$. Podnosimy nawiasy do kwadratu i dzielimy obie strony przez $2$.

   $$\begin{aligned}&(x-6)^2+(-3x-6-4)^2=98 \\[8pt] &(x-6)^2+(-3x-10)^2=98 \\[8pt] &x^2-12x+36+9x^2+60x+100=98 \\[8pt] &10x^2+48x+38=0 \\[8pt] &5x^2+24x+19=0\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium