# Zadanie 12, matura rozszerzona czerwiec 2022

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2022](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/czerwiec)
- Dział: Geometria przestrzenna
- Rodzaj: otwarte, 5 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/czerwiec/zadanie-12

## Treść

Podstawą graniastosłupa prostego $ABCDA_1B_1C_1D_1$ jest trapez równoramienny $ABCD$ wpisany w okrąg o środku $O$ i promieniu $R$. Dłuższa podstawa $AB$ trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza – cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu o mierze $2\alpha$ (zobacz rysunek). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze $\alpha$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/czerwiec/zadanie-12)*

Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję promienia $R$ i miary kąta $\alpha$.

## Odpowiedź

$V = R^3\sin\alpha(1+\sin\alpha)\sqrt{2-2\sin\alpha}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Kąt wpisany $DBC$ jest oparty na tym samym łuku $CD$ co kąt środkowy $COD$, więc jest od niego dwa razy mniejszy.

   $$|\angle DBC| = \dfrac{2\alpha}{2} = \alpha$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium