# Zadanie 10, matura rozszerzona czerwiec 2022

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2022](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/czerwiec)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/czerwiec/zadanie-10

## Treść

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, którego iloraz $q$ jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek $|q| < 1$.
Stosunek sumy $S_N$ wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy $S_P$ wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum, tj. $\dfrac{S_N}{S_P} = S_N - S_P$. Oblicz $q$.

## Odpowiedź

$q = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wyrazy o numerach nieparzystych i wyrazy o numerach parzystych tworzą ciągi geometryczne o ilorazie $q^2$. Zapisujemy ich pierwsze wyrazy.

   $$\begin{aligned}&a_1=q \\[8pt] &a_2=a_1\cdot q=q^2\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium