# Zadanie 3, matura rozszerzona czerwiec 2022

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2022](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/czerwiec)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/czerwiec/zadanie-03

## Treść

Sumą wektorów $\vec{a} = \left[2+2m, \ \dfrac{2}{3}n+1\right]$ oraz $\vec{b} = [n+1, \ m+2]$ jest wektor $\vec{c} = [0, 0]$.
Wynika stąd, że

A. $m=1$ i $n=3$.
B. $m=-9$ i $n=-21$.
C. $m=3$ i $n=-9$.
D. $m=-1$ i $n=0$.

## Odpowiedź

C. $m=3$ i $n=-9$.

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wektory dodajemy współrzędna po współrzędnej. Wektor $\vec{c}$ ma obie współrzędne równe zero, więc dostajemy układ równań.

   $$\begin{cases}2+2m+n+1=0 \\[8pt] \dfrac{2}{3}n+1+m+2=0\end{cases}$$

2. Porządkujemy oba równania, a drugie mnożymy przez $3$, żeby pozbyć się ułamka.

   $$\begin{cases}2m+n+3=0 \\[8pt] 3m+2n+9=0\end{cases}$$

3. Z pierwszego równania wyznaczamy $n$ i wstawiamy do drugiego.

   $$\begin{aligned}&n=-2m-3 \\[8pt] &3m+2(-2m-3)+9=0 \\[8pt] &3m-4m-6+9=0 \\[8pt] &-m+3=0 \\[8pt] &m=3\end{aligned}$$

4. Wstawiamy $m=3$ do wzoru na $n$.

   $$n=-2\cdot3-3=-9$$