# Zadanie 2, matura rozszerzona czerwiec 2022

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2022](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/czerwiec)
- Dział: Granice
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2022/czerwiec/zadanie-02

## Treść

Granica $\displaystyle\lim_{x \to -3} \dfrac{0{,}5x^2+3{,}5x+6}{-x^2+2x+15}$ jest równa

A. $\left(-\dfrac{1}{8}\right) \qquad\qquad$ B. $\dfrac{1}{16} \qquad\qquad$ C. $\left(-\dfrac{1}{16}\right) \qquad\qquad$ D. $\dfrac{7}{4}$

## Odpowiedź

B. $\dfrac{1}{16}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wstawiamy $x=-3$ do licznika i mianownika. Oba są równe zero, więc granicy nie da się policzyć od razu.

   $$\begin{aligned}&0{,}5\cdot(-3)^2+3{,}5\cdot(-3)+6 = 4{,}5-10{,}5+6 = 0 \\[8pt] &-(-3)^2+2\cdot(-3)+15 = -9-6+15 = 0\end{aligned}$$

2. Liczba $-3$ zeruje oba trójmiany, więc w obu rozkładach pojawi się czynnik $(x+3)$. Z licznika wyłączamy $0{,}5$, a z mianownika $-1$. Trójmiany w nawiasach rozkładamy, szukając dwóch liczb, których iloczyn jest równy wyrazowi wolnemu, a suma współczynnikowi przy $x$.

   $$\begin{aligned}&0{,}5x^2+3{,}5x+6 = 0{,}5(x^2+7x+12) = 0{,}5(x+3)(x+4) \\[8pt] &-x^2+2x+15 = -(x^2-2x-15) = -(x+3)(x-5)\end{aligned}$$

3. Skracamy $(x+3)$ i dopiero teraz wstawiamy $x=-3$.

   $$\begin{aligned}&\displaystyle\lim_{x \to -3} \dfrac{0{,}5(x+3)(x+4)}{-(x+3)(x-5)} = \displaystyle\lim_{x \to -3} \dfrac{0{,}5(x+4)}{-(x-5)} \\[8pt] &\dfrac{0{,}5\cdot(-3+4)}{-(-3-5)} = \dfrac{0{,}5}{8} = \dfrac{1}{16}\end{aligned}$$