# Zadanie 15, matura rozszerzona marzec 2021

- Arkusz: [Matura rozszerzona marzec 2021](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/marzec)
- Dział: Pochodne
- Rodzaj: otwarte, 6 pkt, trudność 5/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/marzec/zadanie-15

## Treść

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty $ABC$, których wierzchołki $A$ i $B$ leżą na wykresie funkcji $f$ określonej wzorem $f(x) = \dfrac{9}{x^4}$ dla $x \neq 0$. Punkt $C$ ma współrzędne $\left(0, -\dfrac{1}{3}\right)$, a punkty $A$ i $B$ są położone symetrycznie względem osi $Oy$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/marzec/zadanie-15)*

Oblicz współrzędne wierzchołków $A$ i $B$, dla których pole trójkąta $ABC$ jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

## Odpowiedź

$A=\left(3,\dfrac{1}{9}\right),\ B=\left(-3,\dfrac{1}{9}\right),\ P_{min}=\dfrac{4}{3}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Oznaczamy $A=\left(a, \dfrac{9}{a^4}\right)$, gdzie $a>0$. Z symetrii względem osi $Oy$ mamy $B=\left(-a, \dfrac{9}{a^4}\right)$. Podstawa $AB$ trójkąta $ABC$ jest pozioma, więc jej długość to:

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/marzec/zadanie-15)*

   $$|AB| = 2a$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium