# Zadanie 7, matura rozszerzona marzec 2021

- Arkusz: [Matura rozszerzona marzec 2021](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/marzec)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/marzec/zadanie-07

## Treść

Rozwiąż równanie:

$\sin\left(x+\dfrac{1}{4}\pi\right)\cdot\cos\left(x+\dfrac{1}{4}\pi\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$

## Odpowiedź

$x = -\dfrac{1}{8}\pi + k\pi$ lub $x = \dfrac{1}{8}\pi + k\pi$, gdzie $k \in \mathbb{Z}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Mnożymy obie strony równania przez $2$ i korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta $2\sin\alpha\cos\alpha=\sin(2\alpha)$:

   $$\begin{aligned}&2\sin\left(x+\dfrac{1}{4}\pi\right)\cos\left(x+\dfrac{1}{4}\pi\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\[8pt] &\sin\left(2x+\dfrac{1}{2}\pi\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium