# Zadanie 6, matura rozszerzona marzec 2021

- Arkusz: [Matura rozszerzona marzec 2021](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/marzec)
- Dział: Dowody algebraiczne
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/marzec/zadanie-06

## Treść

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ większej od $2$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $5x^2 - 6xy + 3y^2 - 2x - 4 > 0$.

## Odpowiedź

Lewą stronę nierówności zapisujemy w postaci $3(x-y)^2 + 2(x+1)(x-2)$, będącej sumą liczby nieujemnej i liczby dodatniej dla $x>2$, co dowodzi nierówności.

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Zapisujemy $5x^2$ jako sumę $3x^2 + 2x^2$, aby po lewej stronie wydzielić pełny kwadrat różnicy $(x-y)$:

   $$3x^2 - 6xy + 3y^2 + 2x^2 - 2x - 4 > 0$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium