# Zadanie 2, matura rozszerzona marzec 2021

- Arkusz: [Matura rozszerzona marzec 2021](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/marzec)
- Dział: Prawdopodobieństwo
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/marzec/zadanie-02

## Treść

Dane są dwie urny z kulami. W pierwszej urnie jest $10$ kul: $8$ białych i $2$ czarne, w drugiej jest $8$ kul: $5$ białych i $3$ czarne. Wylosowanie każdej z urn jest jednakowo prawdopodobne. Wylosowano jedną z tych urn i wyciągnięto z niej losowo jedną kulę. Wyciągnięta kula była czarna. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana kula pochodziła z pierwszej z tych urn, jest równe

A. $\dfrac{2}{18} \qquad\qquad$ B. $\dfrac{15}{23} \qquad\qquad$ C. $\dfrac{8}{23} \qquad\qquad$ D. $\dfrac{5}{18}$

## Odpowiedź

C. $\dfrac{8}{23}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wprowadzamy oznaczenia zdarzeń:
<ul><li>$U_1$ - wylosowanie pierwszej urny</li><li>$U_2$ - wylosowanie drugiej urny</li><li>$Cz$ - wyciągnięcie czarnej kuli</li></ul>

2. Zapisujemy znane prawdopodobieństwa.

   $$\begin{aligned}&P(U_1) = P(U_2) = \dfrac{1}{2} \\[8pt] &P(Cz|U_1) = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5} \\[8pt] &P(Cz|U_2) = \dfrac{3}{8}\end{aligned}$$

3. Korzystamy ze wzoru Bayesa.

   $$P(U_1|Cz) = \dfrac{P(Cz|U_1)\cdot P(U_1)}{P(Cz|U_1)\cdot P(U_1) + P(Cz|U_2)\cdot P(U_2)}$$

4. Podstawiamy dane liczbowe.

   $$\begin{aligned}&P(U_1|Cz) = \dfrac{\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{2} + \frac{3}{8}\cdot\frac{1}{2}} \\[8pt] &= \dfrac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}+\frac{3}{16}}\end{aligned}$$

5. Sprowadzamy ułamki w mianowniku do wspólnego mianownika $80$ i upraszczamy.

   $$\begin{aligned}&\dfrac{1}{10} = \dfrac{8}{80}, \quad \dfrac{3}{16} = \dfrac{15}{80} \\[8pt] &P(U_1|Cz) = \dfrac{\frac{8}{80}}{\frac{8}{80}+\frac{15}{80}} = \dfrac{8}{23}\end{aligned}$$

6. Otrzymana wartość odpowiada odpowiedzi C.