# Zadanie 1, matura rozszerzona marzec 2021

- Arkusz: [Matura rozszerzona marzec 2021](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/marzec)
- Dział: Logarytmy
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/marzec/zadanie-01

## Treść

Liczba $\log_2 9$ jest równa

A. $\dfrac{1}{\log_3 4} \qquad\qquad$ B. $\log_3 4 \qquad\qquad$ C. $\dfrac{1}{\log_3 \sqrt{2}} \qquad\qquad$ D. $\log_3 \sqrt{2}$

## Odpowiedź

C. $\dfrac{1}{\log_3 \sqrt{2}}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Zapisujemy $9$ jako potęgę liczby $3$ i korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi.

   $$\log_2 9 = \log_2 3^2 = 2\log_2 3$$

2. Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu: $\log_2 3 = \dfrac{1}{\log_3 2}$.

   $$2\log_2 3 = \dfrac{2}{\log_3 2}$$

3. Mianownik zapisujemy jako $\log_3\sqrt{2}$, korzystając ze wzoru na logarytm potęgi.

   $$\begin{aligned}&\log_3 \sqrt{2} = \log_3 2^{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2}\log_3 2 \\[8pt] &\text{więc } \log_3 2 = 2\log_3\sqrt{2}\end{aligned}$$

4. Podstawiamy do wyrażenia z poprzedniego kroku.

   $$\dfrac{2}{\log_3 2} = \dfrac{2}{2\log_3\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\log_3\sqrt{2}}$$

5. Otrzymana wartość odpowiada odpowiedzi C.