# Zadanie 14.2, matura rozszerzona maj 2021

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2021](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/maj)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 5/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/maj/zadanie-14-2

## Treść

Dane są parabola o równaniu $y=x^2$ oraz punkty $A=(0,2)$ i $B=(1,3)$ (zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty $ABC$, których wierzchołek $C$ leży na tej paraboli. Niech $m$ oznacza pierwszą współrzędną punktu $C$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/maj/zadanie-14-2)*

Wyznacz wszystkie wartości $m$, dla których trójkąt $ABC$ jest ostrokątny.

## Odpowiedź

$m\in\left(\dfrac{-1-\sqrt{17}}{2},-2\right)\cup\left(1,\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}\right)$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Kąt przy wierzchołku $C$ jest kątem wpisanym w okrąg o średnicy $AB$ wtedy, gdy $C$ leży na tym okręgu - jest wówczas kątem prostym. Gdy $C$ leży poza kołem o średnicy $AB$, kąt ten jest ostry, a gdy wewnątrz koła - rozwarty. Trójkąt $ABC$ jest więc ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $C$ leży poza tym kołem oraz gdy dodatkowo leży między prostymi prostopadłymi do $AB$ poprowadzonymi przez punkty $A$ i $B$ (czyli na jednym z fragmentów $M_1M_2$ lub $N_1N_2$ paraboli - patrz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/maj/zadanie-14-2)*

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium