# Zadanie 12, matura rozszerzona maj 2021

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2021](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/maj)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: otwarte, 5 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/maj/zadanie-12

## Treść

Rozwiąż równanie $\cos 2x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos x - \sin x)$ w przedziale $\langle 0, \pi \rangle$.

## Odpowiedź

$x = \dfrac{\pi}{4}$ lub $x = \dfrac{7\pi}{12}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Przekształcamy prawą stronę równania, korzystając ze wzoru na cosinus różnicy kątów i tego, że $\cos\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$:

   $$\begin{aligned}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos x - \sin x) = \cos x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \sin x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\[8pt]&= \cos x \cdot \cos\dfrac{\pi}{4} - \sin x \cdot \sin\dfrac{\pi}{4} = \cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium