# Zadanie 11, matura rozszerzona maj 2021

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2021](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/maj)
- Dział: Równania
- Rodzaj: otwarte, 5 pkt, trudność 5/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/maj/zadanie-11

## Treść

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których trójmian kwadratowy

$4x^2 - 2(m+1)x + m$

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1$ oraz $x_2$, spełniające warunki:

$x_1 \neq 0, \quad x_2 \neq 0 \quad \text{oraz} \quad x_1 + x_2 \leq \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$

## Odpowiedź

$m \in (-\infty, -1\rangle \cup (0, 1) \cup (1, 4\rangle$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Trójmian $4x^2 - 2(m+1)x + m$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik $\Delta$ jest dodatni. Rozwiązujemy warunek $\Delta > 0$.

   $$\begin{aligned}&\Delta = [-2(m+1)]^2 - 4\cdot4\cdot m > 0 \\[8pt]&4m^2 - 8m + 4 > 0 \\[8pt]&4(m-1)^2 > 0 \\[8pt]&m \neq 1\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium