# Zadanie 8, matura rozszerzona maj 2021

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2021](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/maj)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/maj/zadanie-08

## Treść

Dany jest trójkąt równoboczny $ABC$. Na bokach $AB$ i $AC$ wybrano punkty – odpowiednio – $D$ i $E$ takie, że $|BD| = |AE| = \dfrac{1}{3}|AB|$. Odcinki $CD$ i $BE$ przecinają się w punkcie $P$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/maj/zadanie-08)*

Wykaż, że pole trójkąta $DBP$ jest $21$ razy mniejsze od pola trójkąta $ABC$.

## Odpowiedź

Pole trójkąta $DBP$ jest równe $\dfrac{1}{21}$ pola trójkąta $ABC$ (dowód powyżej).

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wprowadzamy oznaczenia:
<ul><li>$a$ - długość odcinka $BD$ (a więc też $AE$)</li><li>skoro $|BD| = \dfrac{1}{3}|AB|$, to $|AB| = |BC| = 3a$ (trójkąt $ABC$ jest równoboczny)</li></ul>

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium