# Zadanie 5, matura rozszerzona maj 2021

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2021](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/maj)
- Dział: Granice
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/maj/zadanie-05

## Treść

Oblicz granicę $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{(3n+2)^2-(1-2n)^2}{(2n-1)^2}$.

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

## Odpowiedź

$\dfrac{5}{4} = 1{,}25$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Podnieś do kwadratu wyrażenia w liczniku i wykonaj działania, żeby otrzymać wielomiany w liczniku i mianowniku.

   $$\begin{aligned}&(3n+2)^2-(1-2n)^2 = (9n^2+12n+4)-(4n^2-4n+1) = 5n^2+16n+3 \\[8pt] &(2n-1)^2 = 4n^2-4n+1\end{aligned}$$

2. Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $n^2$ i przejdź z $n$ do nieskończoności — ułamki z $n$ w mianowniku dążą wtedy do zera.

   $$\begin{aligned}\displaystyle\lim_{n \to \infty}\dfrac{5n^2+16n+3}{4n^2-4n+1} &= \displaystyle\lim_{n \to \infty}\dfrac{5+\frac{16}{n}+\frac{3}{n^2}}{4-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}} \\[8pt] &= \dfrac{5}{4}\end{aligned}$$

3. Zapisz wynik jako skończone rozwinięcie dziesiętne i odczytaj żądane cyfry. Cyfra jedności $1$, pierwsza cyfra po przecinku $2$, druga cyfra po przecinku $5$.

   $$\dfrac{5}{4} = 1{,}25$$