# Zadanie 15, matura rozszerzona czerwiec 2021

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2021](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/czerwiec)
- Dział: Pochodne
- Rodzaj: otwarte, 7 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/czerwiec/zadanie-15

## Treść

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne $ABC$ o przeciwprostokątnej $AB$ i obwodzie równym $4$. Niech $x = |AC|$.

a) Wykaż, że pole $P$ trójkąta $ABC$ jako funkcja zmiennej $x$ jest określone wzorem

$P(x) = \dfrac{x(4-2x)}{4-x}$

b) Wyznacz dziedzinę funkcji $P$.
c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

## Odpowiedź

a) $P(x) = \dfrac{x(4-2x)}{4-x}$ (wzór wykazany); b) $x \in (0, 2)$; c) boki: $4-2\sqrt{2}$, $4-2\sqrt{2}$, $4\sqrt{2}-4$; największe pole: $P = 4(3-2\sqrt{2})$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wprowadzamy oznaczenia:
<ul><li>$b = |BC|$</li><li>$c = |AB|$</li></ul>

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium