# Zadanie 13, matura rozszerzona czerwiec 2021

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2021](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/czerwiec)
- Dział: Pochodne
- Rodzaj: otwarte, 5 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/czerwiec/zadanie-13

## Treść

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x) = \dfrac{x^3+k}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x \neq 0$.

Oblicz wartość $k$, dla której prosta o równaniu $y = -x$ jest styczna do wykresu funkcji $f$.

## Odpowiedź

$k = -\dfrac{4}{27}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Niech punkt $P=(x_0, y_0)$, gdzie $x_0 \neq 0$, będzie punktem styczności prostej $y=-x$ do wykresu funkcji $f$. Prosta przechodzi przez ten punkt, więc $y_0=-x_0$. Punkt $P$ leży też na wykresie funkcji $f$, więc:

   $$-x_0 = \dfrac{x_0^3+k}{x_0}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium