# Zadanie 4, matura rozszerzona czerwiec 2021

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2021](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/czerwiec)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/czerwiec/zadanie-04

## Treść

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji $f$ określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Jeden z podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji $f$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/czerwiec/zadanie-04)*

A. $f(x) = 2\sin(2x) \qquad\qquad$ B. $f(x) = 2\pi \cdot \sin(2x) \qquad\qquad$ C. $f(x) = 2\sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \qquad\qquad$ D. $f(x) = 2\pi \cdot \sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$

## Odpowiedź

D. $f(x) = 2\pi \cdot \sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Odczytujemy z wykresu amplitudę funkcji - najwyższa i najniższa wartość funkcji wynoszą odpowiednio $2\pi$ i $-2\pi$, więc amplituda wynosi $2\pi$. Odrzuca to od razu odpowiedzi A i C, w których amplituda wynosi $2$.

2. Odczytujemy okres funkcji - odległość między kolejnymi maksimami (np. dla $x=\pi$ i $x=5\pi$) wynosi $4\pi$, więc okres $T=4\pi$.

3. Dla funkcji postaci $f(x) = A\sin(\omega x)$ okres wynosi $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$. Wyznaczamy $\omega$:

   $$\begin{aligned}&\dfrac{2\pi}{\omega} = 4\pi \\[8pt] &\omega = \dfrac{1}{2}\end{aligned}$$

4. Otrzymujemy wzór funkcji z amplitudą $2\pi$ i $\omega=\dfrac{1}{2}$:

   $$f(x) = 2\pi \sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$$