# Zadanie 3, matura rozszerzona czerwiec 2021

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2021](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/czerwiec)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/czerwiec/zadanie-03

## Treść

Wektory $\vec{a} = [m-2, m+2]$ oraz $\vec{b} = \left[m^{1{,}5}, 2^{1{,}5}\right]$ mają równe długości wtedy i tylko wtedy, gdy

A. $m = 0$ lub $m = 4 \qquad\qquad$ B. $m = 0$ lub $m = 2 \qquad\qquad$ C. $m = 2 \qquad\qquad$ D. $m = 2$ lub $m = 4$

## Odpowiedź

B. $m = 0$ lub $m = 2$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Zapisujemy warunek równości długości wektorów, korzystając ze wzoru na długość wektora $[x,y]$: $|v| = \sqrt{x^2+y^2}$:

   $$(m-2)^2+(m+2)^2 = \left(m^{1{,}5}\right)^2 + \left(2^{1{,}5}\right)^2$$

2. Upraszczamy obie strony równania:

   $$\begin{aligned}&(m-2)^2+(m+2)^2 = 2m^2+8 \\[8pt] &\left(m^{1{,}5}\right)^2 + \left(2^{1{,}5}\right)^2 = m^3+8\end{aligned}$$

3. Otrzymujemy równanie:

   $$\begin{aligned}&2m^2+8 = m^3+8 \\[8pt] &m^3-2m^2=0 \\[8pt] &m^2(m-2)=0\end{aligned}$$

4. Stąd $m=0$ lub $m=2$. Oba rozwiązania spełniają warunek $m \geq 0$, potrzebny, aby wyrażenie $m^{1{,}5}$ było określone.