# Zadanie 1, matura rozszerzona czerwiec 2021

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2021](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/czerwiec)
- Dział: Potęgi i pierwiastki
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2021/czerwiec/zadanie-01

## Treść

Wartość wyrażenia $\left(\left(\sqrt{3}-1\right)^2 - \left(\sqrt{3}+1\right)^2\right)^3$ jest równa

A. $512 \qquad\qquad$ B. $0 \qquad\qquad$ C. $-24\sqrt{3} \qquad\qquad$ D. $-192\sqrt{3}$

## Odpowiedź

D. $-192\sqrt{3}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, gdzie $a=\sqrt{3}-1$ i $b=\sqrt{3}+1$:

   $$\left(\sqrt{3}-1\right)^2 - \left(\sqrt{3}+1\right)^2 = \left(\left(\sqrt{3}-1\right)-\left(\sqrt{3}+1\right)\right)\cdot\left(\left(\sqrt{3}-1\right)+\left(\sqrt{3}+1\right)\right)$$

2. Upraszczamy oba czynniki:

   $$\begin{aligned}&\left(\sqrt{3}-1\right)-\left(\sqrt{3}+1\right) = -2 \\[8pt] &\left(\sqrt{3}-1\right)+\left(\sqrt{3}+1\right) = 2\sqrt{3}\end{aligned}$$

3. Mnożymy otrzymane czynniki:

   $$-2 \cdot 2\sqrt{3} = -4\sqrt{3}$$

4. Podnosimy wynik do sześcianu:

   $$\left(-4\sqrt{3}\right)^3 = -64 \cdot 3\sqrt{3} = -192\sqrt{3}$$