# Zadanie 10, matura rozszerzona lipiec 2020

- Arkusz: [Matura rozszerzona lipiec 2020](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2020/lipiec)
- Dział: Logarytmy
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2020/lipiec/zadanie-10

## Treść

Dla pewnych liczb rzeczywistych $a > 1$, $b > 1$ i $N > 1$ jest spełniona równość

$\log_{a^2 b} N = \dfrac{3}{20} \cdot \left(\log_a N + \log_b N\right)$.

Wyznacz wszystkie wartości wyrażenia $\log_a b$.

## Odpowiedź

$\log_a b = \dfrac{2}{3}$ lub $\log_a b = 3$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Zapisujemy równość, sprowadzając wszystkie logarytmy do tej samej podstawy $a$ (korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy: $\log_b N = \dfrac{\log_a N}{\log_a b}$).

   $$\dfrac{20\log_a N}{\log_a\left(a^2 b\right)} = 3\left(\log_a N + \dfrac{\log_a N}{\log_a b}\right)$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium