# Zadanie 9, matura rozszerzona lipiec 2020

- Arkusz: [Matura rozszerzona lipiec 2020](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2020/lipiec)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2020/lipiec/zadanie-09

## Treść

Rozwiąż równanie $4\sin^3 x + \sin 2x = 2\sin^2 x \cdot (2\cos x + 1)$.

## Odpowiedź

$x = k\pi$ lub $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ lub $x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ lub $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Przekształcamy równanie równoważnie. Rozpisujemy $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ i przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę.

   $$\begin{aligned}&4\sin^3 x + 2\sin x\cos x = 4\sin^2 x\cos x + 2\sin^2 x \\[8pt]&4\sin^3 x + 2\sin x\cos x - 4\sin^2 x\cos x - 2\sin^2 x = 0\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium