# Zadanie 8, matura rozszerzona lipiec 2020

- Arkusz: [Matura rozszerzona lipiec 2020](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2020/lipiec)
- Dział: Dowody podzielności
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2020/lipiec/zadanie-08

## Treść

Wykaż, że dla każdej liczby nieparzystej $n$ wyrażenie $n^5-3n^4-n+3$ jest podzielne przez $16$.

## Odpowiedź

Dla każdej liczby nieparzystej $n$ liczba $n^5-3n^4-n+3$ jest iloczynem czterech liczb parzystych, więc jest podzielna przez $16$.

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Grupujemy wyrazy i wyciągamy przed nawias wspólny czynnik $(n-3)$:

   $$\begin{aligned}&n^5-3n^4-n+3 \\[8pt]&=n^4(n-3)-(n-3) \\[8pt]&=(n-3)(n^4-1)\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium