# Zadanie 6, matura rozszerzona lipiec 2020

- Arkusz: [Matura rozszerzona lipiec 2020](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2020/lipiec)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2020/lipiec/zadanie-06

## Treść

Pierwszy wyraz ciągu $(a_n)$, określonego dla $n \geq 1$, jest równy $2$. Wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają warunek $a_n = 3 \cdot a_{n+1} + n^2$. Oblicz sumę $a_1+a_2+a_3$.

## Odpowiedź

$a_1+a_2+a_3 = \dfrac{10}{9}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Podstawiamy $n=1$ do warunku $a_n = 3 \cdot a_{n+1} + n^2$, aby wyznaczyć drugi wyraz ciągu:

   $$\begin{aligned}&a_1 = 3a_2 + 1^2 \\[8pt]&2 = 3a_2+1 \\[8pt]&a_2 = \dfrac{1}{3}\end{aligned}$$

2. Podstawiamy $n=2$, aby wyznaczyć trzeci wyraz ciągu:

   $$\begin{aligned}&a_2 = 3a_3+2^2 \\[8pt]&\dfrac{1}{3} = 3a_3+4 \\[8pt]&a_3 = -\dfrac{11}{9}\end{aligned}$$

3. Obliczamy szukaną sumę:

   $$a_1+a_2+a_3 = 2+\dfrac{1}{3}-\dfrac{11}{9} = \dfrac{10}{9}$$