# Zadanie 3, matura rozszerzona lipiec 2020

- Arkusz: [Matura rozszerzona lipiec 2020](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2020/lipiec)
- Dział: Pochodne
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2020/lipiec/zadanie-03

## Treść

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{3x+1}{x^2+1}$ dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$.

Pochodna $f'$ tej funkcji jest określona wzorem

A. $f'(x) = \dfrac{3}{2x} \qquad\qquad$ B. $f'(x) = \dfrac{-3x^2-2x+3}{2x} \qquad\qquad$ C. $f'(x) = \dfrac{-3x^2-2x+3}{(x^2+1)^2} \qquad\qquad$ D. $f'(x) = \dfrac{9x^2+2x+3}{(x^2+1)^2}$

## Odpowiedź

C. $f'(x) = \dfrac{-3x^2-2x+3}{(x^2+1)^2}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Stosujemy wzór na pochodną ilorazu funkcji $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$, gdzie $u(x)=3x+1$ oraz $v(x)=x^2+1$.

   $$u'(x) = 3, \quad v'(x) = 2x$$

2. Podstawiamy do wzoru na pochodną ilorazu i upraszczamy licznik.

   $$\begin{aligned}&f'(x) = \dfrac{3(x^2+1) - (3x+1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} \\[8pt] &f'(x) = \dfrac{3x^2+3-6x^2-2x}{(x^2+1)^2} \\[8pt] &f'(x) = \dfrac{-3x^2-2x+3}{(x^2+1)^2}\end{aligned}$$