# Zadanie 11, matura rozszerzona czerwiec 2020

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2020](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2020/czerwiec)
- Dział: Równania
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2020/czerwiec/zadanie-11

## Treść

Dane jest równanie kwadratowe $x^2 - (3m+2)x + 2m^2 + 7m - 15 = 0$ z niewiadomą $x$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których różne rozwiązania $x_1$ i $x_2$ tego równania istnieją i spełniają warunek

$2x_1^2 + 5x_1x_2 + 2x_2^2 = 2$.

## Odpowiedź

$m = -\dfrac{9}{5}$ lub $m = \dfrac{1}{4}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Równanie ma dwa różne rozwiązania, gdy wyróżnik trójmianu $x^2-(3m+2)x+2m^2+7m-15$ jest dodatni. Obliczamy go.

   $$\Delta = \big(-(3m+2)\big)^2 - 4\left(2m^2+7m-15\right) = m^2 - 16m + 64 = (m-8)^2$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium