# Zadanie 9, matura rozszerzona czerwiec 2020

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2020](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2020/czerwiec)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2020/czerwiec/zadanie-09

## Treść

Rozwiąż równanie $3\cos 2x + 10\cos^2 x = 24\sin x - 3$ dla $x \in \langle 0, 2\pi \rangle$.

## Odpowiedź

$x = \dfrac{\pi}{6}$ lub $x = \dfrac{5\pi}{6}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Korzystamy ze wzorów $\cos 2x = 1-2\sin^2 x$ oraz $\cos^2 x = 1-\sin^2 x$, żeby sprowadzić równanie do jednej funkcji trygonometrycznej - $\sin x$.

   $$\begin{aligned}&3\cos 2x + 10\cos^2 x = 24\sin x - 3 \\[8pt]&3(1-2\sin^2 x) + 10(1-\sin^2 x) = 24\sin x - 3 \\[8pt]&3 - 6\sin^2 x + 10 - 10\sin^2 x = 24\sin x - 3\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium