# Zadanie 7, matura rozszerzona czerwiec 2020

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2020](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2020/czerwiec)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2020/czerwiec/zadanie-07

## Treść

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|=6$, a punkt $D$ jest środkiem podstawy $AB$. Okrąg o środku $D$ jest styczny do prostej $AC$ w punkcie $M$. Punkt $K$ leży na boku $AC$, punkt $L$ leży na boku $BC$, odcinek $KL$ jest styczny do rozważanego okręgu oraz $|KC|=|LC|=2$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2020/czerwiec/zadanie-07)*

Wykaż, że $\dfrac{|AM|}{|MC|}=\dfrac{4}{5}$.

## Odpowiedź

$\dfrac{|AM|}{|MC|} = \dfrac{4}{5}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Ponieważ $|KC|=|LC|=2$, z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wnioskujemy, że odcinek $KL$ jest równoległy do podstawy $AB$. Wprowadzamy oznaczenia:
<ul><li>$P$ - środek odcinka $KL$</li><li>$x = |CP|$</li></ul>

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium