# Zadanie 4, matura rozszerzona czerwiec 2020

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2020](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2020/czerwiec)
- Dział: Wyrażenia algebraiczne
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2020/czerwiec/zadanie-04

## Treść

Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego $\left(x\sqrt{2} + y\sqrt{3}\right)^4$ do postaci $ax^4 + bx^3y + cx^2y^2 + dxy^3 + ey^4$ współczynnik $c$ jest równy

A. $6 \qquad\qquad$ B. $36 \qquad\qquad$ C. $8\sqrt{6} \qquad\qquad$ D. $12\sqrt{6}$

## Odpowiedź

B. $36$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Rozwiń wyrażenie za pomocą dwumianu Newtona dla $n=4$.

   $$\left(x\sqrt{2}+y\sqrt{3}\right)^4 = \sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}\left(x\sqrt{2}\right)^{4-k}\left(y\sqrt{3}\right)^{k}$$

2. Współczynnik przy $x^2y^2$ odpowiada wyrazowi dla $k=2$. Wyznacz ten składnik.

   $$\begin{aligned}&\binom{4}{2}\left(x\sqrt{2}\right)^{2}\left(y\sqrt{3}\right)^{2} = 6\cdot 2x^2 \cdot 3y^2 \\[8pt] &= 36x^2y^2\end{aligned}$$

3. Zatem współczynnik $c$ jest równy $36$.