# Zadanie 2, matura rozszerzona czerwiec 2020

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2020](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2020/czerwiec)
- Dział: Granice
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2020/czerwiec/zadanie-02

## Treść

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = \dfrac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2}$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$.
Granica tego ciągu jest równa

A. $3 \qquad\qquad$ B. $\dfrac{1}{5} \qquad\qquad$ C. $\dfrac{3}{5} \qquad\qquad$ D. $-\dfrac{5}{11}$

## Odpowiedź

C. $\dfrac{3}{5}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $n$, czyli $n^2$.

   $$a_n = \dfrac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2} = \dfrac{3+\dfrac{7}{n}-\dfrac{5}{n^2}}{\dfrac{11}{n^2}-\dfrac{5}{n}+5}$$

2. Przy $n \to \infty$ wyrazy z $\dfrac{1}{n}$ i $\dfrac{1}{n^2}$ zbiegają do $0$.

   $$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \dfrac{3+0-0}{0-0+5} = \dfrac{3}{5}$$