# Zadanie 1, matura rozszerzona czerwiec 2020

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2020](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2020/czerwiec)
- Dział: Wyrażenia algebraiczne
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2020/czerwiec/zadanie-01

## Treść

Wielomian $W$ określony wzorem $W(x) = x^{2019} - 3x^{2000} + 2x + 6$

A. jest podzielny przez $(x-1)$ i z dzielenia przez $(x+1)$ daje resztę równą $6$.
B. jest podzielny przez $(x+1)$ i z dzielenia przez $(x-1)$ daje resztę równą $6$.
C. jest podzielny przez $(x-1)$ i jest podzielny przez $(x+1)$.
D. nie jest podzielny ani przez $(x-1)$, ani przez $(x+1)$.

## Odpowiedź

B. jest podzielny przez $(x+1)$ i z dzielenia przez $(x-1)$ daje resztę równą $6$.

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Skorzystaj z twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian $(x-a)$, zgodnie z którym reszta z tego dzielenia jest równa $W(a)$.

2. Oblicz $W(1)$.

   $$W(1) = 1^{2019} - 3\cdot 1^{2000} + 2\cdot 1 + 6 = 1 - 3 + 2 + 6 = 6$$

3. Oblicz $W(-1)$.

   $$W(-1) = (-1)^{2019} - 3\cdot(-1)^{2000} + 2\cdot(-1) + 6 = -1 - 3 - 2 + 6 = 0$$

4. Skoro $W(-1)=0$, wielomian jest podzielny przez $(x+1)$. Skoro $W(1)=6 \neq 0$, wielomian nie jest podzielny przez $(x-1)$, a reszta z tego dzielenia jest równa $6$.