# Zadanie 9, matura rozszerzona czerwiec 2019

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2019](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2019/czerwiec)
- Dział: Dowody podzielności
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2019/czerwiec/zadanie-09

## Treść

Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej $n$ wyrażenie $n^5 - 3n^4 - n + 19$ jest podzielne przez $16$.

## Odpowiedź

Wyrażenie jest równe $(n-1)(n+1)(n^2+1)(n-3) + 16$, a iloczyn czterech liczb parzystych jest podzielny przez $16$, więc całe wyrażenie jest podzielne przez $16$.

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Przekształcamy wyrażenie tak, aby wyłączyć wspólny czynnik $n - 3$. W tym celu rozbijamy $19$ na $3 + 16$.

   $$\begin{aligned}&n^5 - 3n^4 - n + 19 \\[8pt] &= n^5 - 3n^4 - n + 3 + 16 \\[8pt] &= n^4(n-3) - (n-3) + 16 \\[8pt] &= (n^4 - 1)(n-3) + 16 \\[8pt] &= (n^2-1)(n^2+1)(n-3) + 16 \\[8pt] &= (n-1)(n+1)(n^2+1)(n-3) + 16\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium