# Zadanie 7, matura rozszerzona maj 2017

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2017](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2017/maj)
- Dział: Dowody algebraiczne
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2017/maj/zadanie-07

## Treść

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych $x$, $y$ prawdziwa jest nierówność

$x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2 - 8xy + 4 > 0$.

## Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa: dla $x \neq y$ jej lewą stronę można zapisać jako sumę liczby nieujemnej i liczby dodatniej (wzory skróconego mnożenia).

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Przekształcamy nierówność równoważnie. Wyraz $-8xy$ zapisujemy jako $-4xy - 4xy$ i grupujemy składniki tak, żeby powstały wzory skróconego mnożenia.

   $$\begin{aligned}x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2 - 8xy + 4 &> 0 \\[8pt] x^2y^2 - 4xy + 4 + 2x^2 - 4xy + 2y^2 &> 0 \\[8pt] (xy-2)^2 + 2(x^2 - 2xy + y^2) &> 0 \\[8pt] (xy-2)^2 + 2(x-y)^2 &> 0\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium