# Zadanie 10, matura rozszerzona maj 2017 (F. 2005)

- Arkusz: [Matura rozszerzona maj 2017 (F. 2005)](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2017/maj-formula-2005)
- Dział: Geometria przestrzenna
- Rodzaj: otwarte, 6 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2017/maj-formula-2005/zadanie-10

## Treść

Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach $\dfrac{\pi}{3}$ i $\alpha$. Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$. Wyznacz miarę kąta $\alpha$.

## Odpowiedź

$\alpha = \dfrac{\pi}{4}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Rysujemy prostopadłościan i wprowadzamy oznaczenia:
<ul><li>$B$ - wierzchołek, z którego wychodzą obie przekątne</li><li>$A$ - wierzchołek podstawy sąsiadujący z $B$</li><li>$F$ - drugi wierzchołek podstawy sąsiadujący z $B$</li><li>$C$ - wierzchołek górnej podstawy leżący nad $A$</li><li>$D$ - wierzchołek górnej podstawy leżący nad $F$</li><li>$\sphericalangle ABC = \dfrac{\pi}{3}$</li><li>$\sphericalangle FBD = \alpha$</li><li>$\beta$ - kąt między przekątnymi $BC$ i $BD$, czyli $\cos\beta = \dfrac{\sqrt{6}}{4}$</li><li>$|AB| = a$</li><li>$|BD| = x$</li></ul>

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2017/maj-formula-2005/zadanie-10)*

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium