# Zadanie 11, matura rozszerzona czerwiec 2016

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2016](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2016/czerwiec)
- Dział: Dowody geometryczne
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2016/czerwiec/zadanie-11

## Treść

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$. Przez wierzchołki $A$ i $C$ oraz środek $K$ krawędzi $BF$ poprowadzono płaszczyznę, która przecina przekątną $BH$ w punkcie $P$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2016/czerwiec/zadanie-11)*

Wykaż, że $|BP|:|HP|=1:3$.

## Odpowiedź

Punkt $P$ dzieli przekątną $BH$ na odcinki $|BP|=\dfrac{1}{4}|BH|$ i $|HP|=\dfrac{3}{4}|BH|$, więc $|BP|:|HP|=1:3$.

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Przekątne podstawy przecinają się w punkcie $L$, który jest środkiem odcinków $AC$ i $BD$. Punkt $P$ leży na przekątnej $BH$ prostokąta $BDHF$, a płaszczyzna $ACK$ wyznacza w tym prostokącie odcinek $KL$, więc $P$ leży na $KL$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2016/czerwiec/zadanie-11)*

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium