# Zadanie 10, matura rozszerzona czerwiec 2016

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2016](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2016/czerwiec)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2016/czerwiec/zadanie-10

## Treść

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony dla każdej liczby całkowitej $n \geq 1$, w którym $a_4 = 4$ oraz dla każdej liczby $n \geq 1$ prawdziwa jest równość $a_{n+1} = a_n + n - 4$. Oblicz pierwszy wyraz ciągu $(a_n)$ i ustal, czy ciąg ten jest malejący.

## Odpowiedź

$a_1 = 10$
Ciąg nie jest malejący, bo $a_5 = a_4$.

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wzór rekurencyjny pozwala cofać się o jeden wyraz. Wstawiamy $n=3$ i $a_4=4$, żeby wyznaczyć $a_3$.

   $$\begin{aligned}&a_{n+1} = a_n + n - 4 \\[8pt] &a_4 = a_3 + 3 - 4 \\[8pt] &4 = a_3 - 1 \\[8pt] &a_3 = 5\end{aligned}$$

2. Tak samo wstawiamy $n=2$ i $a_3=5$, żeby wyznaczyć $a_2$.

   $$\begin{aligned}&a_3 = a_2 + 2 - 4 \\[8pt] &5 = a_2 - 2 \\[8pt] &a_2 = 7\end{aligned}$$

3. Wstawiamy $n=1$ i $a_2=7$, żeby wyznaczyć pierwszy wyraz.

   $$\begin{aligned}&a_2 = a_1 + 1 - 4 \\[8pt] &7 = a_1 - 3 \\[8pt] &a_1 = 10\end{aligned}$$

4. W ciągu malejącym każdy wyraz jest mniejszy od poprzedniego. Sprawdzamy $a_5$, wstawiając $n=4$ do wzoru rekurencyjnego.

   $$\begin{aligned}&a_5 = a_4 + 4 - 4 \\[8pt] &a_5 = a_4\end{aligned}$$

5. Wyrazy $a_4$ i $a_5$ są równe, więc ciąg nie jest malejący.