# Zadanie 8, matura rozszerzona czerwiec 2016

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2016](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2016/czerwiec)
- Dział: Dowody algebraiczne
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2016/czerwiec/zadanie-08

## Treść

Wykaż, że dla $a, b, c, d > 0$ prawdziwa jest nierówność

$\sqrt{a+b} \cdot \sqrt{c+d} \geq \sqrt{ac} + \sqrt{bd}$

## Odpowiedź

Nierówność jest równoważna nierówności $\left(\sqrt{ad}-\sqrt{bc}\right)^2 \geq 0$, która jest prawdziwa dla $a, b, c, d > 0$.

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Obie strony nierówności są dodatnie, więc możemy podnieść je do kwadratu i otrzymamy nierówność równoważną.

   $$\left(\sqrt{a+b} \cdot \sqrt{c+d}\right)^2 \geq \left(\sqrt{ac} + \sqrt{bd}\right)^2$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium