# Zadanie 6, matura rozszerzona czerwiec 2016

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2016](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2016/czerwiec)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2016/czerwiec/zadanie-06

## Treść

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$ określony dla $n \ge 1$, w którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $12$. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Zakoduj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku otrzymanego wyniku.

## Odpowiedź

$9, 2, 3$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego istnieje tylko wtedy, gdy $|q| < 1$. Iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, więc warunek dotyczy $a_1$.

   $$\begin{aligned}&q = a_1 \\[8pt] &|a_1| < 1\end{aligned}$$

2. Wstawiamy $q = a_1$ i $S = 12$ do wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego i wyznaczamy $a_1$.

   $$\begin{aligned}&S = \dfrac{a_1}{1 - q} \\[8pt] &12 = \dfrac{a_1}{1 - a_1} \;\;/\cdot(1 - a_1) \\[8pt] &12 - 12a_1 = a_1 \\[8pt] &12 = 13a_1 \;\;/:13 \\[8pt] &a_1 = \dfrac{12}{13}\end{aligned}$$

3. Wynik spełnia warunek $|a_1| < 1$. Zamieniamy ułamek na rozwinięcie dziesiętne, z którego odczytujemy trzy pierwsze cyfry po przecinku.

   $$a_1 = \dfrac{12}{13} = 0{,}923076\ldots$$