# Zadanie 4, matura rozszerzona czerwiec 2016

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2016](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2016/czerwiec)
- Dział: Geometria przestrzenna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2016/czerwiec/zadanie-04

## Treść

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie krawędzie mają jednakową długość. Wynika stąd, że cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy

A. $\dfrac{\sqrt{3}}{3} \qquad\qquad$ B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2} \qquad\qquad$ C. $\dfrac{1}{2} \qquad\qquad$ D. $\dfrac{1}{3}$

## Odpowiedź

A. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wprowadzamy oznaczenia:
<ul><li>$a$ - długość każdej krawędzi</li><li>$S$ - wierzchołek ostrosłupa, $O$ - środek podstawy</li><li>$K$ - środek krawędzi podstawy</li><li>$\alpha$ - kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy, czyli kąt $SKO$</li></ul>

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2016/czerwiec/zadanie-04)*

2. Odcinek $SK$ jest wysokością ściany bocznej, która jest trójkątem równobocznym o boku $a$. Odcinek $OK$ to połowa krawędzi podstawy.

   $$\begin{aligned}&|SK| = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \\[8pt] &|OK| = \dfrac{a}{2}\end{aligned}$$

3. Liczymy cosinus kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnym $SOK$, a potem usuwamy niewymierność z mianownika.

   $$\begin{aligned}\cos\alpha &= \dfrac{|OK|}{|SK|} \\[8pt] \cos\alpha &= \dfrac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{1\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$$