# Zadanie 3, matura rozszerzona czerwiec 2016

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2016](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2016/czerwiec)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2016/czerwiec/zadanie-03

## Treść

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ dane są: $|AD| = 6$, $|BC| = 12$, $|AC| = 10$ oraz $|\sphericalangle ABC| = |\sphericalangle CAD|$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2016/czerwiec/zadanie-03)*

Wówczas długość podstawy $AB$ tego trapezu jest równa

A. $|AB| = 18 \qquad\qquad$ B. $|AB| = 20 \qquad\qquad$ C. $|AB| = 22 \qquad\qquad$ D. $|AB| = 24$

## Odpowiedź

B. $|AB| = 20$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Podstawy $AB$ i $CD$ są równoległe, więc kąty naprzemianległe $ACD$ i $CAB$ są równe. Oznaczamy je przez $\beta$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2016/czerwiec/zadanie-03)*

2. Trójkąty $ACD$ i $BAC$ mają po dwa równe kąty $\alpha$ i $\beta$, więc są podobne. Zapisujemy proporcję odpowiadających sobie boków.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2016/czerwiec/zadanie-03)*

   $$\begin{aligned}&\triangle ACD \sim \triangle BAC \\[8pt] &\dfrac{|AD|}{|BC|} = \dfrac{|AC|}{|AB|}\end{aligned}$$

3. Podstawiamy dane i mnożymy na krzyż.

   $$\begin{aligned}&\dfrac{6}{12} = \dfrac{10}{|AB|} \\[8pt] &6 \cdot |AB| = 12 \cdot 10 \\[8pt] &|AB| = 20\end{aligned}$$