# Zadanie 2, matura rozszerzona czerwiec 2016

- Arkusz: [Matura rozszerzona czerwiec 2016](https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2016/czerwiec)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/rozszerzona/2016/czerwiec/zadanie-02

## Treść

Wartość wyrażenia $\sin^2 75° - \cos^2 75°$ jest równa

A. $-\dfrac{1}{2} \qquad\qquad$ B. $\dfrac{1}{2} \qquad\qquad$ C. $-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \qquad\qquad$ D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

## Odpowiedź

D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wyłączamy minus przed nawias, żeby dostać wzór na cosinus podwojonego kąta.

   $$\begin{aligned}&\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha \\[8pt] &\sin^2 75° - \cos^2 75° = -(\cos^2 75° - \sin^2 75°) = -\cos 150°\end{aligned}$$

2. Kąt $150°$ zamieniamy na kąt ostry ze wzoru redukcyjnego i odczytujemy wartość z tablic.

   $$\begin{aligned}&\cos 150° = \cos(180° - 30°) = -\cos 30° \\[8pt] &\cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[8pt] &-\cos 150° = \cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$$