# Zadanie 25, matura podstawowa marzec 2026

- Arkusz: [Matura podstawowa marzec 2026](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/marzec)
- Dział: Geometria przestrzenna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/marzec/zadanie-25

## Treść

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ (zobacz rysunek). Pole trójkąta $ACH$ jest równe $4\sqrt{3}$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/marzec/zadanie-25)*

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość krawędzi tego sześcianu jest równa

A. $2 \qquad\qquad$ B. $2\sqrt{2} \qquad\qquad$ C. $4 \qquad\qquad$ D. $4\sqrt{2}$

## Odpowiedź

B. $2\sqrt{2}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez $a$. Odcinki $AC$, $CH$ i $HA$ są przekątnymi ścian sześcianu, więc trójkąt $ACH$ jest równoboczny o boku:

   $$AC = CH = HA = a\sqrt{2}$$

2. Pole trójkąta równobocznego o boku $s$ wynosi $\dfrac{s^2\sqrt{3}}{4}$. Podstawiamy $s=a\sqrt{2}$ i porównujemy z wartością z treści zadania ($4\sqrt{3}$):

   $$\dfrac{(a\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$$

3. Upraszczamy i wyznaczamy $a$:

   $$\begin{aligned}&\dfrac{2a^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \\[8pt] &\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \\[8pt] &\dfrac{a^2}{2} = 4 \\[8pt] &a^2 = 8 \\[8pt] &a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\end{aligned}$$