# Zadanie 17, matura podstawowa marzec 2026

- Arkusz: [Matura podstawowa marzec 2026](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/marzec)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/marzec/zadanie-17

## Treść

Kąt o mierze $\alpha$ jest rozwarty oraz $\sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt3}$.

Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{3\sin\alpha}{\tg\alpha}$. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$-\sqrt6$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej, aby obliczyć $\cos\alpha$:

   $$\begin{aligned}&\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \\[8pt] &\left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)^2+\cos^2\alpha=1 \\[8pt] &\cos^2\alpha=\dfrac{2}{3}\end{aligned}$$

2. Kąt $\alpha$ jest rozwarty, więc $\cos\alpha<0$:

   $$\cos\alpha=-\sqrt{\dfrac{2}{3}}=-\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}=-\dfrac{\sqrt6}{3}$$

3. Przekształcamy wyrażenie, korzystając ze związku $\tg\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:

   $$\begin{aligned}\dfrac{3\sin\alpha}{\tg\alpha}&=3\sin\alpha:\tg\alpha \\[8pt] &=3\sin\alpha:\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \\[8pt] &=3\sin\alpha\cdot\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \\[8pt] &=3\cos\alpha\end{aligned}$$

4. Podstawiamy obliczoną wartość $\cos\alpha$:

   $$3\cos\alpha=3\cdot\left(-\dfrac{\sqrt6}{3}\right)=-\sqrt6$$