# Zadanie 16, matura podstawowa marzec 2026

- Arkusz: [Matura podstawowa marzec 2026](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/marzec)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/marzec/zadanie-16

## Treść

Ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$, jest malejący. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek $a_6=25\cdot a_8$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloraz ciągu $(a_n)$ jest równy

A. $\dfrac15 \qquad\qquad$ B. $\left(-\dfrac15\right) \qquad\qquad$ C. $5 \qquad\qquad$ D. $(-5)$

## Odpowiedź

A. $\dfrac15$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Zapisujemy wyrazy $a_6$ i $a_8$ za pomocą pierwszego wyrazu i ilorazu $q$:

   $$a_6=a_1q^5,\quad a_8=a_1q^7$$

2. Podstawiamy do warunku zadania i dzielimy obie strony przez $a_1q^5$ (w ciągu geometrycznym $a_1\ne0$ i $q\ne0$, więc wolno):

   $$\begin{aligned}a_1q^5&=25\cdot a_1q^7 \quad\big/:a_1q^5 \\[8pt] 1&=25q^2 \\[8pt] q^2&=\dfrac{1}{25} \\[8pt] q=\dfrac15 \quad&\text{lub}\quad q=-\dfrac15\end{aligned}$$

3. Ciąg jest malejący. Iloraz ujemny dawałby ciąg naprzemienny (niemonotoniczny), więc odrzucamy $q=-\dfrac15$. Pozostaje $q=\dfrac15$, dla którego (przy dodatnim $a_1$) ciąg rzeczywiście maleje.