# Zadanie 15, matura podstawowa marzec 2026

- Arkusz: [Matura podstawowa marzec 2026](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/marzec)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/marzec/zadanie-15

## Treść

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco:

$\begin{cases} a_1=5 \\ a_{n+1}=a_n+2 \end{cases}$

dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma stu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa

A. $203 \qquad\qquad$ B. $205 \qquad\qquad$ C. $10\,400 \qquad\qquad$ D. $10\,500$

## Odpowiedź

C. $10\,400$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Policzmy kilka pierwszych wyrazów. Wzór $a_{n+1}=a_n+2$ mówi, że każdy następny wyraz powstaje przez dodanie $2$ do poprzedniego:

   $$\begin{aligned}a_1&=5 \\[6pt] a_2&=a_1+2=5+2=7 \\[6pt] a_3&=a_2+2=7+2=9 \\[6pt] a_4&=a_3+2=9+2=11\end{aligned}$$

2. Można zauważyć, że za każdym razem dodajemy tę samą liczbę $2$, więc różnica między sąsiednimi wyrazami jest stała i wynosi $2$. Dokładnie tak zachowuje się ciąg arytmetyczny, dlatego $(a_n)$ jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie $a_1=5$ i różnicy $r=2$.

3. Korzystamy ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

   $$S_{100}=\dfrac{100}{2}\left(2a_1+99r\right)=50\left(10+198\right)=50\cdot208=10\,400$$