# Zadanie 9, matura podstawowa marzec 2026

- Arkusz: [Matura podstawowa marzec 2026](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/marzec)
- Dział: Układy równań
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/marzec/zadanie-09

## Treść

Rozwiązaniem układu równań

$\begin{cases} 20x+20y=1 \\ 26x-26y=1 \end{cases}$

jest para liczb: $x=x_0$, $y=y_0$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Suma $x_0 + y_0$ jest liczbą dodatnią.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Iloczyn $x_0 \cdot y_0$ jest liczbą dodatnią.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

PP

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Policzmy rozwiązania tego układu równań. Dzielimy pierwsze równanie przez $20$, a drugie przez $26$, otrzymując prostszy układ:

   $$\begin{cases} x+y=\dfrac{1}{20} \\[8pt] x-y=\dfrac{1}{26} \end{cases}$$

2. Dodajemy równania stronami, aby wyznaczyć $x_0$:

   $$\begin{array}{rl} &x+y=\dfrac{1}{20} \\[8pt] +&x-y=\dfrac{1}{26} \\[8pt] \hline \\ &2x=\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{26} \\[8pt] &2x=\dfrac{13+10}{260} \\[8pt] &2x=\dfrac{23}{260} \\[8pt] &x_0=\dfrac{23}{520} \end{array}$$

3. Odejmujemy równania stronami, aby wyznaczyć $y_0$:

   $$\begin{array}{rl} &x+y=\dfrac{1}{20} \\[8pt] -&x-y=\dfrac{1}{26} \\[8pt] \hline \\ &2y=\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{26} \\[8pt] &2y=\dfrac{13-10}{260} \\[8pt] &2y=\dfrac{3}{260} \\[8pt] &y_0=\dfrac{3}{520} \end{array}$$

4. Obie liczby $x_0$ oraz $y_0$ są dodatnie, więc ich suma i iloczyn również są liczbami dodatnimi. Obydwa stwierdzenia są prawdziwe (P, P).