# Zadanie 25, matura podstawowa maj 2026

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2026](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/maj)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/maj/zadanie-25

## Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o środku w punkcie $S=(1,-3)$ i o promieniu $5$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.
<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Punkt $A=(4,-7)$ leży na okręgu $\mathcal{O}$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem $(x-1)^2+(y+3)^2=5$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

PF

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Punkt leży na okręgu, gdy jego odległość od środka jest równa promieniowi, więc liczymy $|SA|$.

   $$\begin{aligned} &|SA| = \sqrt{(x_A-x_S)^2+(y_A-y_S)^2} \\[8pt] &|SA| = \sqrt{(4-1)^2+(-7-(-3))^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \end{aligned}$$

2. Odległość jest równa promieniowi, więc punkt $A$ leży na okręgu (P).

3. Wstawiamy środek $S$ i promień $5$ do równania okręgu. Po prawej stronie stoi kwadrat promienia, czyli $25$, a nie $5$ (F).

   $$\begin{aligned} &(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \\[8pt] &(x-1)^2+(y-(-3))^2=5^2 \\[8pt] &(x-1)^2+(y+3)^2=25 \end{aligned}$$