# Zadanie 24.2, matura podstawowa maj 2026

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2026](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/maj)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/maj/zadanie-24-2

## Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkty $A=(0,-3)$, $B=(2,1)$ oraz $C=(0,2)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Środek okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ ma współrzędne

A. $\left(\dfrac{2}{3},0\right) \qquad\qquad$ B. $\left(-\dfrac{1}{2},0\right) \qquad\qquad$ C. $\left(0,-\dfrac{2}{3}\right) \qquad\qquad$ D. $\left(0,-\dfrac{1}{2}\right)$

## Odpowiedź

D. $\left(0,-\dfrac{1}{2}\right)$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. *(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/maj/zadanie-24-2)*

Liczymy kwadraty długości boków, żeby znaleźć przeciwprostokątną.

   $$\begin{aligned} &|AB|^2 = (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2 \\[8pt] &|AB|^2 = (2-0)^2+(1-(-3))^2 = 4+16 = 20 \\[8pt] &|BC|^2 = (0-2)^2+(2-1)^2 = 4+1 = 5 \\[8pt] &|AC|^2 = (0-0)^2+(2-(-3))^2 = 0+25 = 25 \end{aligned}$$

2. Najdłuższy jest bok $AC$ i spełnia twierdzenie Pitagorasa, więc to on jest przeciwprostokątną, a kąt prosty leży przy wierzchołku $B$.

   $$|AB|^2+|BC|^2 = 20+5=25=|AC|^2$$

3. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w środku przeciwprostokątnej.

   $$\begin{aligned} &S = \left(\dfrac{x_A+x_C}{2}, \dfrac{y_A+y_C}{2}\right) \\[8pt] &S = \left(\dfrac{0+0}{2}, \dfrac{-3+2}{2}\right) = \left(0,-\dfrac{1}{2}\right) \end{aligned}$$