# Zadanie 23, matura podstawowa maj 2026

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2026](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/maj)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/maj/zadanie-23

## Treść

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\dfrac{3\sin\alpha+4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=6$.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

A. $\dfrac{5}{8} \qquad\qquad$ B. $\dfrac{8}{3} \qquad\qquad$ C. $\dfrac{32}{5} \qquad\qquad$ D. $\dfrac{20}{3}$

## Odpowiedź

D. $\dfrac{20}{3}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Kąt jest ostry, więc $\cos\alpha\ne0$ i możemy pomnożyć obie strony przez $4\cos\alpha$. Potem przenosimy $4\cos\alpha$ na prawą stronę.

   $$\begin{aligned}&\dfrac{3\sin\alpha+4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=6 \;\;/\cdot 4\cos\alpha\\[8pt]&3\sin\alpha+4\cos\alpha = 24\cos\alpha\\[8pt]&3\sin\alpha = 20\cos\alpha\end{aligned}$$

2. Dzielimy obie strony przez $3\cos\alpha$, bo iloraz sinusa przez cosinus to tangens.

   $$\begin{aligned}&\dfrac{3\sin\alpha}{3\cos\alpha} = \dfrac{20\cos\alpha}{3\cos\alpha}\\[8pt]&\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{20}{3}\\[8pt] &\tan\alpha = \dfrac{20}{3}\end{aligned}$$